Question

27、如图，已知：AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=5．
（1）求证：CA=CD；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OC，构建直角三角形，根据切线的性质，推出∠A，∠D的度数，即可推出结论，（2）根据（1）所推出的结论进行等量代换得，2OC=5+OC，然后根据∠D的度数，依据特殊角的三角函数，即可推出OC的长度，即⊙O的半径．

解答：解：（1）连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACD=120°，
∴∠ACO=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OC=OB，
∴∠A=30°，
∴∠D=30°，
∴CA=CD，


（2）∵在Rt△OCD中，∠D=30°，
∴2OC=OD，
∵OB=OC，BD=5，
∴OD=5+OC，
∴2OC=5+OC，
∴OC=5，即⊙O的半径为5．

点评：本题主要考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键在于通过作辅助线OC构建直角三角形，求出∠D、∠A的度数．