Question

如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，∠ABC=120°，D是AB上一点，且D与A、B不重合，过 B、C、D三点的⊙O交AC于点E，连接DE
（1）证明：△ABC∽△AED；
（2）设AD=x，CE=y，求y与x的函数关系式和x的取值范围；
（3）当方程x²-mx+9=0只有整数根，AD的长是该方程的根时，求m的值和四边形BCED的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形BDEC内接于⊙O
∴∠AED=∠ABC
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB

（2）解：作CF⊥AB的延长线于F
已知∠ABC=120°，∠CBF=60°
在直角△BCF中，BF=BC•cos60°=，
CF=BC•sin60°=
∴AF=AB+BF=
在直角△ACF中，，
由△ADE∽△ACB知，即
∴（0＜x＜5）

（3）解：设方程x²-mx+9=0的两根为x₁和x₂且x₁和x₂是正整数，则x₁•x₁=9
∴x₁=9，x₂=1或x₁=x₂=3
又∵AD＜AB，AB=5∴AD=1或AD=3
①当AD=1时，m=x₁+x₂=10
∵△ABC∽△AED∴
∴，

作DG⊥AC于G
∵四边形BCED内接于⊙O
∴∠DEG=180°-∠CBD=180°-120°=60°
∴在Rt△DEG中DG=DE•sin60°=
∴S_{四边形BCED}=S_△ABC-S_△AED
=
=
=
②当AD=3时，m=x₁+x₂=6，
与①同理，得
∴S_{四边形BCED}=S_△ABC-S_△AED
=
=
分析：（1）因为四边形BDEC内接于⊙O，所以∠AED=∠ABC，再根据已知条件可证明△ADE∽△ACB．
（2）设AD=x，CE=y，作CF⊥AB的延长线于F，因为△ADE∽△ACB，可用x，y表示出BF，CF，AF的长，根据相似三角形的对应边成比例，可求出函数式．
（3）设方程x²-mx+9=0的两根为x₁和x₂且x₁和x₂是正整数，则x₁•x₁=9所以x₁=9，x₂=1或x₁=x₂=3又因为，AD＜AB，AB=5所以AD=1或AD=3，因此根据这两种情况可求解．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质定理，以及根与系数的关系，勾股定理等知识点．