Question

如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．
（1）求∠AED的度数；
（2）求证：AB=BC；
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，求

DF

FC

的值．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质、等边三角形的性质以及直角三角形的两个锐角互余进行求解；
（2）连接AC，根据等腰直角三角形的判定方法进行证明；
（3）连接AF，BF、AD的延长线相交于点G．根据三角形的内角和定理以及（2）的结论发现等边三角形ABF，进一步发现全等三角形，即△BCF≌△GDF，从而求解．

解答：（1）解：∵∠BCD=75°，AD∥BC，
∴∠ADC=105°．
由等边△DCE可知∠CDE=60°，
故∠ADE=45°．
由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°，
∴∠AED=45°．

（2）证明：由（1）知∠AED=45°，
∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上．
由△DCE是等边三角形得CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上．
∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE．
连接AC，∵∠AED=45°，
∴∠BAC=45°，
又∵AB⊥BC，
∴∠ACB=45°，
∴BA=BC．

（3）解：∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°．
连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，
∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，
∴∠BFC=75°，故BC=BF．
由（2）知：BA=BC，故BA=BF，
∵∠ABF=60°，
∴AB=BF=FA，
又∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠FAG=∠G=30°．
∴FG=FA=FB．
∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，
∴△BCF≌△GDF．
∴DF=CF，即点F是线段CD的中点．
∴

DF

FC

=1．

点评：此题主要是考查了等腰直角三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定．