Question

19．如图1，AB为⊙O的直径，C为半径AO上一点，过C作CP⊥AB交⊙O于P，F为劣弧$\widehat{BP}$上一点，射线BF交射线CP于E，D为PE上一点，连DF，且DE=DF．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）如图2，若P为$\widehat{AF}$中点，sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，BF=2，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角和直角三角形的两锐角互余得：∠DFO=90°，可得结论；
（2）如图2，作辅助线，先根据垂径定理得：FH=BH=1，利用同角的三角函数列式可得：sin∠FOH=$\frac{1}{3}$=$\frac{FH}{OF}$，
OF=3，设DE=DF=x，在直角△COD和直角△DFO中利用勾股定理列方程可得结论．

解答 证明：（1）如图1，∵DE=DF，
∴∠E=∠DFE，
∵OF=OB，
∴∠B=∠OFB，
∴∠B+∠E=∠DFE+∠OFB，
∵CP⊥AB，
∴∠PCB=90°，
∴∠E+∠B=90°，
∴∠DFE+∠OFB=90°，
即∠DFO=90°，
∴DF⊥OF，
∴DF为⊙O的切线；

（2）如图2，连接OF，过O作OH⊥BF于H，
∴FH=BH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵∠OFD=90°，
∴∠DFE+∠OFB=90°，
∵∠FOH+∠OFB=90°，
∴∠DFE=∠FOH，
∵sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，
∴sin∠FOH=$\frac{1}{3}$=$\frac{FH}{OF}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{OF}$，
∴OF=3，
连接OP，OD，
∵P是$\widehat{AF}$的中点，
∴$\widehat{AP}$=$\widehat{PF}$，
∴∠POA=∠ABF，
∴OP∥BE，
∴∠POH=∠OHB=90°，
∴∠POC+∠BOH=90°，
∵∠POC+∠CPO=90°，
∴∠CPO=∠BOH，
∵OP=OB=3，∠PCO=∠OHB=90°，
∴△PCO≌△OHB，
∴OC=BH=1，
设DE=DF=x，
sin∠CEB=sin∠DFE=$\frac{1}{3}$=$\frac{BC}{BE}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{1+3}{BE}$，
∴BE=12，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{1{2}^{2}-{4}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
∴CD=8$\sqrt{2}$-x，
由勾股定理得：CD²-CO²=DF²-OF²，
（8$\sqrt{2}$-x）²+1²=x²+3²，
x=$\frac{15\sqrt{2}}{4}$，
∴DF=$\frac{15\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定、同角的三角函数、勾股定理、三角形全等的性质和判定、垂径定理，属于常考题型，是圆中常见的计算题，第2问的关键是利用勾股定理列方程是关键．