Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD=4、AB=6，求直角边BC的长．

Answer 1

解：（1）连OD，OE，如图，
∵E是BC边上的中点，AB是半圆O的直径，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3，
∴∠1=∠2，
又∵OD=OB，OE为公共边，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE与半圆O相切．

（2）∵AB为直径
∴∠ADB=∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠CAB，
∴△ABC∽△ADB．
∴，
∵AD=4、AB=6，
∴AC=9，
∴在Rt△ABC中：BC===3．
分析：（1）连OD，OE，由E是BC边上的中点，得到OE是△ABC的中位线，则OE∥AC，所以有∠1=∠3，∠2=∠A，而∠A=∠3，因此得到∠1=∠2，再加上OD=OB，OE为公共边，所以得到△OED≌△OEB，于是∠OED=∠OBE=90°．
（2）首先证明△ABC∽△ADB，得出，即可求出答案．
点评：此题主要考查了圆的切线的判定方法以及相似三角形的性质与判定，经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了三角形全等的判定与性质．