Question

（2013•本溪一模）如图，已知：△ABC是的⊙O内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，∠ACB=45°，求弦AB的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠AOC，根据三角形内角和定理求出∠OCD，根据切线判定推出即可；
（2）连接OB，求出∠AOB=90°，根据等边三角形的性质和判定求出OA=6，根据勾股定理求出即可．

解答：（1）解：直线CD与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OC，
∵∠AOC和∠ABC分别是弧AC对的圆心角和圆周角，
∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴直线DC是⊙O的切线，
即直线CD与⊙O的位置关系是相切．

（2）解：连接OB，
∵∠AOB和∠ACB分别是弧AB对的圆心角和圆周角，
∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，
∵∠AOC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=AC=6=OB，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=

62+62

=6

2

．

点评：本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．