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【题目】RtABC中,∠B90°,点F在边BC上,tanFAC,点E为斜边AC上一动点,EDAB于点D,交AF于点G

1)如图1,求证:

2)如图1,若AB2DE,求证:BF+AD2GE

3)如图2,若ABDE4AD3,直接写出FC的长   

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3

【解析】

1)由题意可得DEBC,可得ADG∽△ABFAGE∽△AFC,由相似三角形性质可得,可得结论;

2)在DB上截取DMBF,连接EMAF于点N,通过证明ABF∽△EDM,可得∠DME=∠AFB,∠BAF=∠DEM,可证∠ANE90°,通过证明AMN∽△EGN,可得,由线段的和差关系,可得结论;

3)过点FFMAC于点M,由勾股定理可求AE5,由题意可证ADE∽△ABC,可得,可求ACBC的长,由锐角三角函数可求AM2FMMCFM,即可求FM的长,由勾股定理可求FC的长.

1)∵EDAB

∴∠ADE90°

∵∠B90°

∴∠B=∠ADE

DEBC

∴△ADG∽△ABFAGE∽△AFC

2)如图,在DB上截取DMBF,连接EMAF于点N

AB2DEDMBF

,且∠ABF=∠EDM90°

∴△ABF∽△EDM

∴∠DME=∠AFB,∠BAF=∠DEM

∵∠BAF+AFB90°

∴∠BAF+DME90°

∴∠ANE90°

tanFAC

∵∠ANM=∠ANE,∠BAF=∠DEM

∴△AMN∽△EGN

AM2GE,且AMAD+DMAD+BF

BF+AD2GE

3)如图,过点FFMAC于点M

AD3DE4ADDE

AE5

DEBC

∴△ADE∽△ABC

ACBC

tanFAC

AM2FM

tanC

MCFM

AM+MCAC

2FM+FM

FM2

MC

FC

故答案为:

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A. B. C. D.

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1 2

1)若点EAC上一点,且CEBD,连接BEBEAD的交点为点P,在图(1)中根据题意补全图形,直接写出∠APE的大小;

2)将AD绕点A逆时针旋转120°,得到AF,连接BFAC于点Q,在图(2)中根据题意补全图形,用等式表示线段AQCD的数量关系,并证明.

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A.B.C.D.

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