Question

14．如图1，已知正方形ABCD的边长为6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，点P为正方形ABCD边上的动点，动点P从点A出发，沿着A→B→C→D运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，△APD的面积为y．

（1）如图2，当x=2时，y=6；
（2）如图3，当点P在边BC上运动时，y=18；
（3）当y=12时，求x的值；
（4）当点P在边BC上运动时，是否存在点P，使得△APD的周长最小？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由x=2，可得AP=2，然后由y=S_△APD=$\frac{1}{2}$AP•AD，求得答案；
（2）直接由y=S_△APD=$\frac{1}{2}$AD•AB，求得答案；
（3）由已知得只有当点P在边AB或边CD上运动时，y=12，然后分别求解即可求得答案；
（4）首先作点A关于直线BC的对称点A₁，连接A₁D交BC于点P，则点P为所求；再证得△A₁BP≌△DCP，即可求得答案．

解答 解：（1）如图2，∵AP=x=2，AD=6，∠A=90°，
∴y=S_△APD=$\frac{1}{2}$AP•AD=6；
故答案为：6；

（2）如图3，y=S_△APD=$\frac{1}{2}$AD•AB=$\frac{1}{2}$×6×6=18；
故答案为：18；

（3）解：由已知得只有当点P在边AB或边CD上运动时，y=12，
当点P在边AB上运动时，
∵S_△PAD=$\frac{1}{2}$AD•PA，
∴$\frac{1}{2}$×6×PA=12，
解得PA=4，
即x=4；
当点P在边CD上运动时，
∵S_△PAD=$\frac{1}{2}$AD×PD，
∴$\frac{1}{2}$×6×PD=12，
解得：PD=4，
∴x=AB+BC+CD=6+6+6-4=14；
综上所述，当y=12时，x=4或14；

（4）解：作点A关于直线BC的对称点A₁，连接A₁D交BC于点P，则点P为所求．
∴A₁B=AB=CD=6，
∵∠PBA₁=∠PBA=90°，∠C=90°，
∴∠PBA₁=∠C，
在△A₁BP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PB{A}_{1}=∠C}\\{∠BP{A}_{1}=∠CPD}\\{{A}_{1}B=CD}\end{array}\right.$，
∴△A₁BP≌△DCP（AAS），
∴PB=PC=3，
∴x=AB+PB=9．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题以及动点问题．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．