Question

如图，⊙H与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心H的坐标是（1，-1），半径是．
（1）求经过点D的切线的解析式；
（2）问过点A的切线与过点D的切线是否垂直？若垂直，请写出证明过程；若不垂直，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设过点D的切线交x轴于点E，EA=x，
则DE²=EA•EB=x（x+4）；
又在Rt△DOE中，DE²=EO²+DO²=（x+1）²+3²，
∴（x+1）²+3²=x（x+4）；（6分）
解得x=5，即EA=5，
点E的坐标为（-6，0）；（7分）
设所求切线的解析式为y=kx+b，因为它经过（0，-3）和（-6，0）两点，
则
解得
∴所求解析式为y=-x-3；（8分）

（2）过点A的切线与过点D的切线互相垂直，证明如下：（9分）
证明：设过点A的切线与DE相交于点M，与y轴相交于点N；
∵AB=CD=4，即有=
∴∠NAO=∠MDO；（10分）
又∵∠NAO+∠ANO=90°，
∴∠MND+∠MDN=90°；
∴过点A的切线与过点D的切线互相垂直．
分析：（1）设过D的切线交x轴于E，设EA=x，即可表示出OE、EB的长；可分别用切割线定理及勾股定理得出DE2的表达式，联立两式即可求出x的值，也就得到了E点的坐标；进而可利用待定系数法求出直线DE的解析式；
（2）由（1）易得AB=CD，则弧AB=弧CD，由弦切角定理即可得到∠NAO=∠MDN；而∠NAO与∠ANO互余，则∠MDN也与∠ANO互余，由此得证．
点评：此题主要考查了垂径定理、勾股定理、一次函数解析式的确定、切线的性质、切割线定理、弦切角定理等知识的综合应用能力，综合性较强，难度较高．