[题目]已知直线AB∥CD.直线EF与AB.CD分别相交于点E.F．(1)如图1.若∠1＝60°.求∠2.∠3的度数,(2)若点是平面内的一个动点.连结PE.PF.探索∠EPF.∠PEB.∠PFD三个角之间的关系:①当点P在图2的位置时.可得∠EPF＝∠PEB+∠PFD,请阅读下面的解答过程.并填空．解:如图2.过点P作MN∥AB.则∠EPM＝∠PEB∵AB∥CD.MN� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点E、F．

（1）如图1，若∠1＝60°，求∠2、∠3的度数；

（2）若点是平面内的一个动点，连结PE、PF，探索∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间的关系：

①当点P在图2的位置时，可得∠EPF＝∠PEB＋∠PFD；请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．

解：如图2，过点P作MN∥AB，

则∠EPM＝∠PEB（　　　　　　　　　　　　　　　　）

∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图），

∴MN∥CD（　　　　　　　　　　　　　　　　）

∴∠MPF＝∠PFD（　　　　　　　　　　　　　　　　）

∴ ＝∠PEB＋∠PFD（等式的性质）

即∠EPF＝∠PEB＋∠PFD．

②当点P在图3的位置时，请直接写出∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间的关系：；

【答案】（1）∠2=60°，∠3=60°；（2）①见解析, ②∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°

【解析】

（1）根据对顶角相等求，根据两直线平行，同位角相等求；

（2）①过点作，根据平行线的性质得，且有，所以，然后利用等式性质易得．

②的解题方法与①一样，分别过点作，然后利用平行线的性质得到三个角之间的关系．

（1）解：（1），

，

；

故：∠2=60°，∠3=60°；

（2）①如图2，过点作，则（两直线平行，内错角相等）

（已知），，

（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

（两直线平行，内错角相等）

（等式的性质）

即；

故答案为：两直线平行，内错角相等；

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

两直线平行，内错角相等；∠EPM+∠MPF.

②∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°，

证明：如图3，

过点作，则，

（已知），，

，

（两直线平行，内错角相等）

（等式的性质）

即；

故答案为：

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因EF=AE，所以△AEF是等边三角形，所以AF=AE，∠EAF=60°，在△ABE和△ACF中，AB=AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF ，可判定△ABE≌△ACF，故①正确．②由∠ABC=∠FDC，可得AB∥DF，再因∠EAF=∠ACB=60°，可得AB∥AF，即可判定四边形ABDF是平行四边形，所以DF=AB=BC，故②正确．③由△ABE≌△ACF可得BE=CF，S△ABE=S△AFC，在△BCE和△FDC中，BC=DF,CE=CD,BE=CF ，可判定△BCE≌△FDC，所以S△BCE=S△FDC，即可得S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△BCE=S△ABC=S△ACF+S△DCF，故③正确．④由△BCE≌△FDC，可得∠DBE=∠EFG，再由∠BED=∠FEG可判定△BDE∽△FGE，所以=，即=，又因BD=2DC，DC=DE，可得=2，即FG=2EG．故④正确．