Question

已知两个反比例函数y=（k＞0）和y=在第一象限内的图象如图所示，点P是y=图象上任意一点，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂足分别为C，D．PC、PD分别交y=的图象于点A，B．
（1）求证：△ODB与△OCA的面积相等；
（2）记S=S_△OAB-S_△PAB，当k变化时，求S的最大值，并求当S取最大值时△OAB的面积．

Answer 1

解：（1）∵点AB均是反比例函数y=（k＞0）上的点，PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S_△ODB=S_△OCA=，即△ODB与△OCA的面积相等；

（2）设P（x，），则A（x，），B（k，），
∵点P在反比例函数y=的图象上，
∴S_矩形PDOC=6，
∵S_△ODB=S_△OCA=，
∴S_{四边形PBOA}=S_矩形PDOC-（S_△ODB+S_△OCA）=6-k，
∴S=S_△OAB-S_△PAB=S_{△四边形PBOA}-2S_△PAB=6-k-2×（-）（x-）=k-，
∴当k=时S有最大值，S_最大=-=；
当k=时，S_△PAB=（-）（x-）=，
∴S_△OAB=S+S_△PAB=+=．
分析：（1）直接根据反比例函数系数k的几何意义进行解答即可；
（2）设出P点坐标，进而可得出A、B两点坐标，由反比例函数系数k的几何意义可知S=S_△OAB-S_△PAB=S_{△四边形PBOA}-2S_△PAB，再把A、B、P三点的坐标代入即可．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，树脂反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．