Question

如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE）．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（3）设

AB

BC

=k，若△AEF∽△BCF，则k=

 

（请直接写出结果）．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：计算题

分析：（1）由EF垂直于EC，利用平角定义得到一对角互余，再由直角三角形AEF中两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似即可得证；
（2）要求两三角形相似，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似，根据FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我们只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通过构建全等三角形来求解，延长FE交CD于G，我们不难得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根据一组直角和一条公共边我们可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就凑齐了两三角形相似的条件．
（3）要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：当∠AFE=∠FCB时，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的．当∠AEF=∠FCB时，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中点，因此BC=2AE，所以我们可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根据（1）中AF=GD，AB=CD，我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似，得出关于GD、ED、DC的比例关系，也就是AF、AB、AE的比例关系，有了AB=3AF，就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系，也就求出了k的值．

解答：解：（1）∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，即∠AEF+∠DEC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠DEC=∠AFE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE；
（2）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，
∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG．
∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF；
（3）设AD=2x，AB=b，DG=AF=a，则FB=b-a，
∵∠GEC=90°，ED⊥CD，
∴ED²=GD•CD
∴x²=ab，
假定△AEF与△BFC相似，则有两种情况：
当∠AFE=∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此种情况是不成立的；
当∠AFE=∠BFC，
∵△AEF∽△BCF，
∴

AF

AE

=

BF

BC

，即

a

x

=

b-a

2x

，
整理得：b=3a，
∴x²=ab=3a²，即x=

3

a，
则k=

AB

BC

=

b

2x

=

3a

2 3 a

=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定和性质，根据相似三角形得出相关线段间的比例关系是解题的关键．