Question

如图，把抛物线y=x²与直线y=1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O₁A₁B₁C₁，则下列结论错误的有个．
①点O₁的坐标是（0，1）；②点C₁的坐标是（2，-1）；③四边形OBA₁B₁是矩形；④若连接OC，则梯形OCA₁B₁的面积是3；⑤点A经过的路径长为3；⑥两阴影面积的和是π．

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   5

Answer 1

C
分析：首先求出A、B、C的坐标，进而可根据旋转的性质求出A₁、B₁、C₁、O₁的坐标；然后再来判断各结论是否正确．
解答：易知：A（-1，1），B（0，1），C（1，1）；
∴AB=BC=OB=1，OA=OC=；
根据旋转的性质可得：A₁B₁=AB=B₁C₁=1，O₁B₁=OB=1；
所以O₁（1，0），B₁（2，0），A₁（2，1），C₁（2，-1）；
故①错误，②正确；
∵OB=B₁A₁，且BO⊥x轴，A₁B₁⊥x轴，
∴A、B、C、A₁在同一条直线上；
易知：OB∥A₁B₁，且OB=A₁B₁，
∴四边形OBA₁B₁是平行四边形，又∠BOB₁=90°，
∴四边形OBA₁B₁是矩形；
故③正确；
∵A₁B=OB₁=2，BC=1，
∴AC=1，S_梯形A1COB1=（A₁C+OB₁）•A₁B₁=×（1+2）×1=；
故④错误；
点A经过的路径分为两部分：一、以O为圆心OA为半径的圆周的长，二、向右平移1个单位的长；
即：2π×+1=π+1，故⑤错误；
由于阴影部分不是两个半圆，故⑥错误．
所以正确的结论是②③，错误的结论是①④⑤⑥；
故选C．
点评：此题是二次函数的综合题，涉及到：图形的旋转变换、矩形的判定、梯形面积的计算方法、弧长计算公式等知识，需要细心求解．