Question

1．已知半圆O与圆F内切于点E，圆F与半圆直径AB相内切于点D，连接DF并延长交半圆O于点C，若AB=32，圆F的直径为12，求CD的长．

Answer 1

分析 如图，连结OE、OC，根据两圆相切得到OF=OE-EF=10，则在Rt△ODF中利用勾股定理可计算出OD=8，再根据切线的性质得CD⊥AB，然后在Rt△OCD中利用勾股定理可计算出CD．

解答 解：如图，连结OE、OC，
∵AB=32，圆F的直径为12，
∴OA=OC=16，EF=FD=6，
∵半圆O与圆F内切于点E，
∴OF=OE-EF=16-6=10，
在Rt△ODF中，OD=$\sqrt{O{F}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵圆F与半圆直径AB相内切于点D，
∴CD⊥AB，
在Rt△OCD中，CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{6}^{2}-{8}^{2}}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆和圆的位置关系：设两圆的圆心距为d、两圆半径分别为R，r，当两圆外离?d＞R+r；两圆外切?d=R+r；两圆相交?R-r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切?d=R-r（R＞r）；两圆内含?d＜R-r（R＞r）．也考查了圆的切线性质和勾股定理．