Question

在1，2，3，…，90，91这91个自然数中，任取k个数，使得其中必有两个自然数p、q满足≤≤，试确定自然数k的最小值并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：首先将1～91这91个自然数分为9组，若从这91个数中取9个数，如上列9组中的最后一个1，3，6，10，16，25，39，60，91，这9个数中任意二数之比均小于或大于，找到k的取值范围，然后根据抽屉原理证明k=10时，必有两个数属于同一个A_i，这两个数就是p、q，若p＜q，则≤≤成立．
解答：解：将1～91这91个自然数分为9组：
A₁={1}，A₂={2，3}，A₃={4，5，6}，A₄={7，8，9，10}，
A₅={11，12，13，14，15，16}，A₆={17，18，19，25}，
A₇={26，27，28，39}，A₈={40，41，42，60}，
A₉={61，62，63，91}．
其中A₁中的1满足≤1≤，其他各组中任意两个自然数的比值均不小于且不大于．
若从这91个数中取9个数，如上列9组中的最后一个1，3，6，
10，16，25，39，60，91，这9个数中任意二数之比均小于或大于，这说明当k取9时，不一定能满足所要求的条件，∴k≥10．
当k=10时，在1～19这91个自然数中任取10个数，这10个数可以安排到A₁～A₉各组中去，由于是10个数，而只有9个组，根据抽屉原则，必有两个数属于同一个A_i，这两个数就是p、q，若p＜q，则≤≤成立．
∴k是最小值是10．
点评：本题主要考查抽屉原理的知识点，将所给的数适当地分组，就是构造抽屉常用的方法．这道题将1～91这91个自然数分成9组，每一组就相当于一个抽屉，而1～91中的自然数就是元素．