Question

如图，已知△ABC的高AE＝5，BC＝，∠ABC＝45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．

(1)请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；

(2)当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵点G与点E关于点F对称，∴GF＝FE 　　∵HI∥BC，∴∠GIF＝∠EJF， 　　又∵∠GFI＝∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI＝JE． 　　同理可得HG＝EK，∴HI＝JK，∴四边形HIKJ是平行四边形． 　　(2) 　　当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF＝2.5． 　　如图，∵AE过平行四边形HIKJ的中心F， 　　∴HG＝EK，GI＝JE． 　　∴HG/BE＝GI/EC． 　　∵CE＞BE，∴GI＞HG，∴CK＞BJ． 　　∴当点F在AE上运动时，点K、J随之在BC上运动． 　　如图，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点(不与C、E重合)，而且点H、I也分别在AB、AC上 　　设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5， 　　∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5－2x，CE＝－5 　　∴△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE． 　　∴(5－2x)∶5＝5∶(－5) 　　∴x＝1，∴AF＝5－x＝4，∴＜AF≤4．