Question

4．如图，正方形ABCD中，F为BC边上的中点，连接AF交对角线BD于G，在BD上截BE=BA，连接AE，将△ADE沿AD翻折得△ADE′，连接E′C交BD于H，若BG=2，则四边形AGHE′的面积是$\frac{60}{7}$-$\frac{9}{14}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先连接EE'，过G作BC的垂线，交BC于M，交AD于N，则MN⊥AD，运用勾股定理，等腰直角三角形的性质以及相似三角形的性质，求得△DE'H的面积，△ADG的面积以及△ADE'的面积，再根据四边形AGHE′的面积=△ADG的面积+△ADE'的面积-△DE'H的面积，进行计算即可．

解答 解：如图所示，连接EE'，过G作BC的垂线，交BC于M，交AD于N，则MN⊥AD，
由BF∥AD可得，△BGF∽△DGA，
∴$\frac{BG}{DG}$=$\frac{BF}{DA}$
∵BG=2，F是BC的中点，
∴DG=4，BD=6，
∴等腰Rt△ABD中，AB=3$\sqrt{2}$，
∴BE=BA=3$\sqrt{2}$，
∴DE=6-3$\sqrt{2}$，
由折叠可得，AD⊥EE'，∠EDE'=90°，
∴等腰Rt△DEE'中，EE'=$\sqrt{2}$DE=6$\sqrt{2}$-6，
△DEE'的面积=$\frac{1}{2}$DE²=$\frac{1}{2}$（6-3$\sqrt{2}$）²=27-18$\sqrt{2}$，
由EE'∥CD，可得△EE'H∽△DCE，
∴$\frac{EE'}{DC}$=$\frac{EH}{DH}$，即$\frac{EH}{DH}$=$\frac{6\sqrt{2}-6}{3\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$，
∴△DE'H的面积=△DEE'的面积×$\frac{1}{2-\sqrt{2}+1}$=（27-18$\sqrt{2}$）×$\frac{1}{3-\sqrt{2}}$=$\frac{45-27\sqrt{2}}{7}$，
∵Rt△BGM中，GM=$\sqrt{2}$，
∴GN=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴△ADG的面积=$\frac{1}{2}$AD×GN=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=6，
又∵△ADE'的面积=$\frac{1}{2}$AD×$\frac{EE'}{2}$=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×（3$\sqrt{2}$-3）=9-$\frac{9}{2}\sqrt{2}$，
∴四边形AGHE′的面积=△ADG的面积+△ADE'的面积-△DE'H的面积=6+（9-$\frac{9}{2}\sqrt{2}$）-$\frac{45-27\sqrt{2}}{7}$=$\frac{60}{7}$-$\frac{9}{14}\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{60}{7}$-$\frac{9}{14}\sqrt{2}$．

点评 本题属于折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，求得线段的长，进而得到三角形的面积．