Question

已知二次函数图象的顶点坐标为M（3，-2），且与y轴交于N（0，

5

2

）．
（1）求该二次函数的解析式，并用列表、描点画出它的图象；
（2）若该图象与x轴交于A、B两点，在对称轴右侧的图象上存在点C，使得△ABC的面积等于12，求出C点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的顶点式的特点，设所求的二次函数解析式是y=a（x-3）²-2．再将点N（0，

5

2

）的坐标值代入解析式，求得a的值．即可求得二次函数的具体解析式．
首先列表，再根据表中的x、y对应坐标值，描点，画出函数的图象．
（2）首先令函数解析式等于0，求得A、B两点的坐标值．根据三角形面积计算公式求得△ABC底边AB上的高，进而确定C点的纵坐标，解一元二次方程得到x的值，验证其合理性，从而确定出C点的坐标值．

解答：解：（1）由于二次函数图象的顶点是（3，-2），设所求的二次函数解析式是y=a（x-3）²-2．由于所求图象过N(0，

5

2

)，
可得

5

2

=a(0-3)2-2．
解得a=

1

2

•所以y=

1

2

x2-3x+

5

2

•
列表：

x	…	1	2	3	4	5	…
y	…	0	- 3 2	-2	- 3 2	0	…

（2）当

1

2

x2-3x+

5

2

=0时，x₁=1，x₂=5．
∴点A（1，0），点B（5，0），
则AB=4．
∵△ABC的面积为12．
∴

1

2

AB•|h|=12，
∴|h|=6．
∴抛物线顶点是（3，-2）．
h₁=6，h₂=-6（舍去）．
∵6=

1

2

x2-3x+

5

2

•
解出，x₁=7，x₂=-1．
由于抛物线对称轴是x=3，
所以x₂=-1（舍去）．
有点C（7，6）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．