Question

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上，P为线段AB上一动点（除A，B两端点外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q，设线段PQ的长为l，点P的横坐标为x．
（1）求出l与x之间的函数关系式，并求出l的取值范围；
（2）在线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标及梯形PQMA的面积；若不存在，请说明理由；
（3）当2＜x＜6时，延长PQ、AM交于F，连接NF、PM，求证：NF⊥PM．

Answer 1

分析：（1）根据直线y=x+2的解析式求出A点的坐标，根据A、B的坐标求出抛物线的解析式，由PQ⊥x轴得P、Q的横坐标为x，最后用纵坐标的差表示出来就可．根据A、B两点的纵坐标就可以求出取值范围．
（2）过点M作MQ∥AB交抛物线于点Q，连接AM，作PQ∥y轴于点P，过M作MD∥PQ，MD交AB于N，得出四边形PQMD为平行四边形，可以求出MD的长度，从而求出P点的坐标和梯形的面积．
（3）由直线y=x+2和抛物线y=

1

2

(x-2)2可以求出OA=ON=OM=2，可以得出FA⊥NP，由NE⊥PF，所以有点M是△PNF的垂心，从而得出结论．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点为M（2，0），
∴设其解析式为y=a（x-2）²．
∵抛物线经过直线y=x+2与y轴的交点A（0，2），
∴a=

1

2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

(x-2)2．
∵PQ⊥x轴且横坐标为x，
∴l=(x+2)-

1

2

(x-2)2=-

1

2

x2+3x．
由

y=x+2 y= 1 2 (x-2)2

得点B的坐标为B（6，8），
∵点p在线段AB上运动，
∴0＜x＜6．
∵l=-

1

2

x2+3x=-

1

2

(x-3)2+

9

2

，
∴当x=3时，l最大=

9

2

．
∴0＜l＜

9

2

．…（5分）

（2）作MQ∥AP．过M作MD∥PQ，MD交AB于N，
则四边形PQMD为平行四边形．
∴MD=PQ，∵M（2，0），∴D（2，4），∴MD=4．
∴PQ=-

1

2

x2+3x=MD=4．
∴x²-6x+8=0，∴x₁=2，x₂=4．
∵2＜x＜6，∴x=4．
∴P（4，6），Q（4，2）．
∴存在点P（4，6），使四边形PQMA为梯形．
如图，

S_梯形PQMA=S_梯形PEOA-S_△AOM-S_△MQE
=

1

2

(2+6)×4-

1

2

×2×2-

1

2

×2×2=12．

（3）：∵直线y=x+2与x轴，y轴相交于点N，A．
∴ON=OA=2，又y=

1

2

(x-2)2∵OA=OM=2．

∴FA⊥NP，
∵NE⊥PF，
∴点M是△PNF的垂心．
∴NF⊥PM．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，梯形的性质的运用及梯形的面积，三角形的垂心的运用．