Question

如图所示，已知A点的坐标为（-1，0），点B的坐标是（9，0）以AB为直径作⊙O′，交y轴负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C作抛物线
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD求BD直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的

1

3

，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据△OAC∽△OCB即可求得CO的长，即可确定C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）连接O'D，求得D的坐标，再根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）过点P作PH⊥x轴于H，交直线CD于M，求得直线CD的解析式，即可求得△BCD的面积，然后根据P的横坐标的范围，分情况进行讨论，即可求得．

解答：解：（1）AB是⊙O'的直径
∴AC⊥BC
又OC⊥AB
∴△OAC∽△OCB
∴

AO

CO

=

CO

BO

∴CO=

AO•BO

=3
∴C（0，-3）（1分）
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
抛物线过A（-1，0）、B（9，0）和C（0，-3）
∴

a-b+c=0 81a+9b+c=0 c=-3

解得

a= 1 3 b=- 8 3 c=-3

（2分）
所求抛物线解析式为y=

1

3

x2-

8

3

x-3（3分）

（2）连接O'D，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=

1

2

∠DO'B=45°
∴∠DO'B=90°
又DO′=

1

2

AB=5
∴D（4，-5）（1分）
设直线BD的解析式为y=kx+b，则

9k+b=0 4k+b=-5

解得

k=1 b=-9

（2分）
直线BD的解析式为y=x-9．（3分）

（3）设点P（x，

1

3

x2-

8

3

x-3）
过点P作PH⊥x轴于H，交直线CD于M，
易得直线CD的解析式为y=-

1

2

x-3，则M（x，-

1

2

x-3）
易知直线CD与抛物线交点为C（0，-3）和N（

13

2

，-

25

4

）
∵S_△BCD=S_{四边形ACDB}-S_△ABC
=S_△AOC+S_梯形OCDO'+S_△BO′D-S_△ABC

1×3

2

+

3+5

2

×4+

5×5

2

-

10×3

2

=15（1分）
设△PCM与△PDM中，边PM上的高分别为h₁和h₂，则
1当0＜x≤42时，如图（1）S△PCD=S△CPM+S△DPM=

PM

2

(h1+h2)=

1

2

[(-

1

2

x-3)-(

1

3

x2-

8

3

x-3)]×4=5
即2x²-13x+15=0
解得x1=

3

2

，x₂=5＞4（舍去）
∴P₁（

3

2

，-

25

4

）（2分）
3当4＜x＜

13

2

时，如图（2）S△PCD=S△CPM-S△DPM=

PM

2

(h1-h2)=

1

2

[(-

1

2

x-3)-(

1

3

x2-

8

3

x-3)]×4=5
即2x²-13x+15=0
解得x1=

3

2

＜4（舍去），x₂=5
∴P₂（5，-8）（3分）
5当

13

2

＜x＜96时，如图（3）S△PCD=S△CPM-S△DPM=

PM

2

(h1-h2)=

1

2

[(

1

3

x2-

8

3

x-3)-(-

1

2

x-3)]×4=5
即2x²-13x-15=0
解得x1=

15

2

，x₂=-1＜0（舍去）
∴P₃（

15

2

，-

17

4

）
所有求点P的坐标是P₁（

3

2

，-

25

4

）、P₂（5，-8）或P₃（

15

2

，-

17

4

）（4分）

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．