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已知:如图,直y=2x+b交x轴于点B,交y轴于点C,点A为x轴正半轴上一点,AO=CO,△ABC的面积为12.
(1)求b的值;
(2)若点P是线段AB中垂线上的点,是否存在这样的点P,使△PBC成为直角三角形?若存在,试直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,试说明理由;
(3)点Q为线段AB上一个动点(点Q与点A、B不重合),QE∥AC,交BC于点E,以QE为边,在点B的异侧作正方形QEFG.设AQ=m,△ABC与正方形QEFG的重叠部分的面积为S,试求S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围.
【答案】分析:(1)根据△ABC的面积是12,即可得到一个关于b的方程,解方程求得b的值;
(2)线段AB中垂线的解析式是y=1,然后分A、B、P是直角顶点三种情况进行讨论即可求得;
(3)在Rt△AOC中利用勾股定理求得AC的长度,然后根据平行线分线段成比例定理利用m表示出EQ的长度,然后分0<m≤<m<6两种情况求得.
解答:解:(1)由题意得:B(-,0),C(0,b)
∴OB=,OC=b
∵AO=BO
∴A(b,0).∴OA=b,AB=b+=b.
∵S△ABC=AB•OC=12
×b•b=12
解得:b1=4,b2=-4(舍去)
∴b=4

(2)AB的中垂线是x=1,
当A是直角△BCP的直角顶点时,设BP的解析式是:y=-x+c,
把B的坐标代入得:1+c=0,解得:c=-1,
则BP的解析式是:y=-x-1,当x=1时,y=-
则P的坐标是(1,-);
同理,当C是直角顶点时求得P的坐标是(1,);
当P是直角顶点时,BC==2
BC的中点的坐标是(-1,2),
设P的坐标是(1,x),则(x-2)2+(1+1)2=(2
解得:x=1或3,
则P的坐标是(1,1)或(1,3).
总之,P的坐标是:P1(1,1),P2(1,3),P4(1,),P3(1,-).

(3)如图,设正方形QEFG与AC相交于点M.
∵B(-2,0),A(4,0)
∴AB=6
在Rt△AOC中AC==4
∵EQ∥AC
=
∴EQ===
∵EQ∥AC
∴∠AMQ=∠EQM=90°∠MAQ=45°
∴△QMA为等腰直角三角形
∴QM=AQ=m
当QM=QG时,正方形QEFG的边FG恰好与AC共线.
此时=m,
解得:m=
当0<m≤时,S=QE•QM=m=-m2+4m.
<m<6时,S=QE2=[(6-m)】2=(m-6)2
∴S与m之间的函数关系式为S=
点评:本题考查了一次函数与直角三角形的性质、正方形的性质、平行线分线段成比例定理的综合应用,正确分类讨论是关键.
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