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已知,如图1,在平面直角坐标系内,直线l1:y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B,与直线l2y=
13
x
相交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)如图1,平行于y轴的直线x=1交直线l1于点E,交直线l2于点D,平行于y轴的直x=a交直线l1于点M,交直线l2于点N,若MN=2ED,求a的值;
(3)如图2,点P是第四象限内一点,且∠BPO=135°,连接AP,探究AP与BP之间的位置关系,并证明你的结论.
分析:(1)联立两直线解析式得到方程组,求出方程组的解即可确定出C的坐标;
(2)将x=1代入两直线方程求出对应y的值,确定出D与E的纵坐标,即OD与OE的长,由OE-OD求出DE的长,根据MN=2DE,求出MN的长,将x=a代入两直线方程,求出M与N对应的横坐标,相减的绝对值等于MN的长列出关于a的方程,求出方程的解即可求出a的值;
(3)AP⊥BP,理由为:过O作OQ⊥OP,交BP的延长线于点Q,由∠BPO为135°,得到∠OPQ为45°,又∠POQ为直角,可得出三角形OPQ为等腰直角三角形,再利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似得到三角形AOP与三角形BOQ相似,由相似三角形的对应角相等得到∠APO=∠BQO=45°,由∠BPO-∠APO得到∠APB为直角,即AP⊥BP.
解答:
解:(1)联立两直线解析式得:
y=-x+4
y=
1
3
x

解得:
x=3
y=1

则C坐标为(3,1);
(2)如图1所示,将x=1代入y=-x+4得:y=-1+4=3;代入y=
1
3
x得:y=
1
3

∴DE=OE-OD=3-
1
3
=
8
3

∴MN=2DE=
16
3

将x=a代入y=-x+4得:y=-a+4;代入y=
1
3
x得:y=
1
3
a,
∴MN=|-a+4-
1
3
a|=
16
3

解得:a=-1或a=7,
则a的值为-1或7;
(3)过O作OQ⊥OP,交BP的延长线于点Q,可得∠POQ=90°,
∵∠BPO=135°,
∴∠OPQ=45°,
∴∠Q=∠OPQ=45°,
∴△POQ为等腰直角三角形,
∴OP=OQ,
∵∠AOB=∠POQ=90°,
∴∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠POB,即∠AOP=∠BOQ,
∵OA=OB=4,
OA
OP
=
OB
OQ

∴△AOP∽△BOQ,
∴∠APO=∠BQO=45°,
∴∠APB=∠BPO-∠APO=90°,
则AP⊥BP.
点评:此题属于一次函数综合题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,两直线的交点,一次函数与坐标轴的交点,以及坐标与图形性质,是一道中档题.
练习册系列答案
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(2012•锡山区一模)已知:如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B,与双曲线y=
m
x
相交于C、D两点,且点D的坐标为(1,6).
(1)当点C的横坐标为2时,试求直线AB的解析式,并直接写出
CD
AB
的值为
1
3
1
3

(2)如图2,当点A落在x 轴的负半轴时,过点C作x轴的垂线,垂足为E,过点D作y轴的垂线,垂足为F,连接EF.
①判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等,并说明理由;
②当
CD
AB
=2时,求tan∠OAB的值.

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已知:如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=kx+b与x轴、y轴分别交与点A、B,与双曲线y=相交于C、D两点,且点D的坐标为(1,6).

(1)当点C的横坐标为2时,试求直线AB的解析式,并直接写出的值为     .

(2)如图2,当点A落在x 轴的负半轴时,过点C作x轴的垂线,垂足为E,过点D作y轴的垂线,垂足为F,连接EF.①判断ΔEFC的面积和ΔEFD的面积是否相等,并说明理由;②当=2时,求tan∠OAB的值.

 

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已知:如图10,在平面直角坐标系中,直线轴交于点,与反比例函数在第一象限内的图象交于点,连结,若.求该反比例函数的解析式和直线的解析式.

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