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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图所示，已知直线AB过点C（1，2），且与x轴、y轴分别交于点A、B，CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，CF交y轴于G，交x轴于F．（F在原点O的左侧）
    （1）当直线AB的位置正好使得△ACD≌△CBE时，求A点的坐标及直线AB的解析式．
    （2）若S四边形ODCE=S△CDF，当直线AB的位置正好使得FC⊥AB时，求A点的坐标及BC的长．
    （3）在（2）成立的前提下，将△FOG延y轴对折得△F′O′G′（对折后F、O、G的对应点分别为F′、O′、G′），将△F′O′G′沿x轴正方向精英家教网平移，设平移过程中△F′O′G′与四边形ODCE重叠部分面积为y，OO′的长为x（0≤x≤1），求y与x的函数关系式．
    分析：（1）由△ACD≌△CBE，可得到AD的长，从而得出OA的长，即点A的坐标；直线AB经过A（0，2）和C（2、1）两点，用待定系数法可求得其解析式．
    （2）由S四边形ODCE=S△CDF，并结合已知条件，可得出△FOG≌△CEG，从而知道△CBE为等腰直角三角形，运用勾股定理可得出BC的长；△CFA为等腰直角三角形，从而得到FD=DA=2，得到OA=3；即点A的坐标为（3，0）．
    （3）根据已知画出图象，可知S阴影=S矩形ND0′G′-S△NMG′，数形结合，将数值代入、化简，即可得出y与x的函数关系式．
    解答：解：（1）由已知四边形CDOE是矩形，从而由C（1，2），有OD=CE=1．
    又∵△ACD≌△CBE∴DA=EC=1，∴OA=OD+DA=2，∴A（2，0）；
    ∴设直线AB的解析式为y=kx+b，又直线AB经过点A（2，0），C（1，2），
    ∴
    2k+b=0
    k+b=2
    ，解得：
    k=-2
    b=4
    ，
    ∴直线的解析式为y=-2x+4．

    （2）由S四边形ODCE=S△CDF，
    即，1×2=
    1
    2
    ×2×DF，
    得DF=2，∴OF=1，
    ∴OF=EC，又∵∠EGC=∠OGF，∠CEG=∠FOG=90°，
    ∴△FOG≌△CEG，∴FO=CE=1，OG=GE=1，
    ∴GE=EC；又FG⊥AB，∴∠ECF=∠CFA=∠FCD=45°，
    ∴FC=AC，FD=DA，
    从而OA=3，即A（3，0），
    又由EC=1，∠ECB=45°，
    ∴在等腰直角△CBE中，BE=1，
    BC=
    		12+12
    =
    		2
    ．

    （3）如图，△F′O′G′与四边形ODCE重叠部分面积为精英家教网
    S阴影=S矩形ND0′G′-S△NMG′，
    ∵∠MF′D=45°，
    ∴∠DMF′=∠NMG′=45°，
    ∴△NMG′是等边三角形，
    S阴影=1×（1-x）-
    1
    2
    ×（1-x）（1-x），
    =（1-x）[1-
    1
    2
    ×（1-x）]，
    =
    1
    2
    （1-x）（1+x）
    =-
    1
    2
    x2+
    1
    2
    ．
    答：y与x的函数关系式是：y=-
    1
    2
    x2+
    1
    2
    （0≤x≤1）．
    点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．在求有关动点问题时要注意分析、弄清题意，主要考查学生数形结合的数学思想方法．
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    （2）设OP=t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；
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    69
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    1
    2
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    k
    x
    (k＞0)    交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
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