Question

已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：综合题

分析：（1）易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形，从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，进而可以证到AD=DC′=A′D．
（2）解答中提供了两种方法，分别利用相似与全等，证明所得的结论．
（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，有∠AC′B=90°，易证Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），从而可以求出旋转角α的度数．

解答：答：（1）AD=A′D．
证明：如图1，
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
∴BC=BC′，BA=BA′．
∵∠A′BC′=∠ABC=60°，
∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形．
∴∠BAA′=∠BC′C=60°．
∵∠A′C′B=90°，
∴∠DC′A′=30°．
∵∠AC′D=∠BC′C=60°，
∴∠ADC′=60°．
∴∠DA′C′=30°．
∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．
∴AD=DC′，DC′=DA′．
∴AD=A′D．

（2）仍然成立：AD=A′D．
证法一：利用相似．如图2-1．
由旋转可得，BA=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠ABA′
∵∠1=

1

2

（180°-∠ABA′），∠3=

1

2

（180°-∠CBC′）
∴∠1=∠3．
设AB、CD交于点O，则∠AOD=∠BOC
∴△BOC∽△DOA．
∴∠2=∠4，

OB

OD

=

OC

OA

．
连接BD，
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA．
∴∠5=∠6．
∵∠ACB=90°，
∴∠2+∠5=90°．
∴∠4+∠6=90°，即∠ADB=90°．
∵BA=BA′，∠ADB=90°，
∴AD=A′D．
证法二：利用全等．如图2-2．
过点A作AE∥A′C′，交CD的延长线于点E，则∠1=∠2，∠E=∠3．
由旋转可得，AC=AC′，BC=BC′，
∴∠4=∠5．
∵∠ACB=∠A′C′B=90°，
∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠6．
∴∠E=∠6，∴AE=AC=A′C′．
在△ADE与△A′DC′中，

∠1=∠2 AE=A′C′ ∠E=∠3

∴△ADE≌△A′DC′（ASA），
∴AD=A′D．

（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，
则有∠AC′B=180°-∠A′C′B=90°．
在Rt△ACB和Rt△AC′B中，

BC=BC′ AB=AB

．
∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．
∴∠ABC=∠ABC′=60°．
∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．

点评：本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性．