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已知:二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数.
(1)求证:不论m取何实数,这个二次函数的图象与x轴必有两个交点;
(2)设这个二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为
23
,求这个二次函数的解析式.
分析:判断二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3与x轴的交点情况,需要把问题转化为求方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0的判别式的符号.而已知二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),相当于已知此方程两根为x1,x2.可运用根与系数的关系解题,所求m的值不受限制,结果有两个.
解答:解:(1)∵△=b2-4ac=[-2(m-1)]2-4(m2-2m-3)=4m2-8m+4-4m2+8m+12=16>0,
∴不论m取何实数,这个二次函数的图象与x轴必有两个交点;

(2)∵x1+x2=2(m-1),x1x2=m2-2m-3,
1
x1
+
1
x2
=
2
3

x1+x2
x1x2
=
2
3
2(m-1)
m2-2m-3
=
2
3

解得m=0或5,
二次函数解析式为:y=x2+2x-3或y=x2-8x+12.
点评:主要考查了二次函数图象的性质与一元二次方程根的情况之间的关系,以及根与系数的关系的运用.
练习册系列答案
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精英家教网已知:二次函数的表达式为y=2x2+4x-1.
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(1)求B、C两点的坐标;
(2)求这个二次函数的解析式.

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1
AO
-
1
OB
=
2
CO

(1)求这个二次函数的解析式;
(2)是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q,使y轴平分△CPQ的面积?若存在,求出k、b应满足的条件;若不存在,请说明理由.

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(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;
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已知:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:
x 0 1 2 3 4 5
y 3 0 -1 0 m 8
(1)可求得m的值为
3
3

(2)求出这个二次函数的解析式;
(3)当0<x<3时,则y的取值范围为
-1≤y<3
-1≤y<3

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