Question

13．已知二次函数y=-x²+2x+3，
（1）求抛物线顶点M的坐标；
（2）设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，求A，B，C的坐标（点A在点B的左侧），并画出函数图象的大致示意图；
（3）根据图象，求不等式x²-2x-3＞0的解集；
（4）写出当-2≤x≤2时，二次函数y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）配方可得抛物线顶点M的坐标；
（2）分别将x=0和y=0代入抛物线的解析式可求得：A，B，C的坐标，并根据四点法画图象；
（3）x²-2x-3＞0，不等式两边乘以-1，可得：-x²+2x+3＜0，即y＜0，由图象得出结论；
（4）根据图象得出当-2≤x≤2时对应的最大值和最小值，写出二次函数y的取值范围．

解答 （1）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线顶点M的坐标为（1，4）；
（2）把x=0代入y=-x²+2x+3得y=3；
∴C点坐标为（0，3）；
把y=0代入y=-x²+2x+3得-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A点坐标为（-1，0）、B点坐标为（3，0），
如图；

（3）x²-2x-3＞0，
则-x²+2x+3＜0，
即y＜0，
由图象得：当x＜-1或x＞3时，y＜0，x²-2x-3＞0；
（4）由图象得：
当x=1时，y_最大=4；当x=-2时，y_最小=-5；
所以y取值范围：-5≤y≤4．

点评 本题考查了二次函数的性质、抛物线与两坐标轴的交点及不等式组，本题利用数形结合的思想是关键，从图象中读出不等式组的解集和对应y的取值．