Question

11．如图，已知等边△ABC的边长为a，点P是BC边上一动点，以AP为边作等边△APQ，边PQ交AC于点O，连接CQ，
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）若点D是AQ的中点，当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长为$\frac{1}{2}$a（直接写出结果）；
（3）当BP=$\frac{1}{3}$a时，求$\frac{AP}{PO}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠PAQ=60°，AB=AC，AP=AQ，再由SAS定理即可得出结论；
（2）直接根据三角形中位线定理即可得出结论；
（3）先根据题意得出∠BAP=∠CPO，再由∠B=∠PCO可知△ABP∽△PCO，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC与△APQ是等边三角形，
∴∠BAC=∠PAQ=60°，AB=AC，AP=AQ，
∴∠BAP=∠QAC，
在△ABP与△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAP=∠CAQ\\ AP=AQ\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）；

（2）解：∵当点P由点B运动到点C时，D为AQ的中点，
∴PD的运动路线为△ACQ的中位线即为$\frac{1}{2}$a．
故答案为：$\frac{1}{2}$a；

（3）解：∵∠APC=60°+∠CPQ，∠APC=∠B+∠BAP=60°+∠BAP，
∴∠BAP=∠CPO．
∵∠B=∠PCO，
∴△ABP∽△PCO，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{AP}{OP}$=$\frac{a}{a-\frac{1}{3}a}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AP}{PO}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到等边三角形的性质、全等三角形的判定定理、相似三角形的判定与性质等知识，难度适中．