Question

已知a²+b²=1，，求a+b+ab的取值范围．

Answer 1

解：∵a²+b²=（a+b）²-2ab，a²+b²=1，
∴ab=，
设a+b=t，则-≤t≤，
∴y=a+b+ab=+a+b=（t²-1）+t=t²+t-=（t+1）²-1，
∴t=-1时，y有最小值为-1，
t=时，y有最大值，此时y=（+1）²-1=，
∴-1≤y≤，
即a+b+ab的取值范围为-1≤a+b+ab≤．
分析：由a²+b²=（a+b）²-2ab，a²+b²=1得到ab=，设a+b=t，则-≤t≤，于是得到=a+b+ab=+a+b=（t²-1）+t，配成顶点式为y=（t+1）²-1，根据二次函数的最值问题和性质得到t=-1时，y有最小值为-1；t=时，y有最大值，此时y=（+1）²-1，由此得到a+b+ab的取值范围．
点评：本题考查了二次函数的最值问题：先把二次函数配成顶点式：y=a（x-h）²+k，当a＜0时，x=h，y有最大值k；当a＞0，x=h，y有最小值k．也考查了二次函数的性质．