Question

已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数y＝(k＞0)的图象与AC边交于点E．

(1)求证：△AOE与△BOF的面积相等．

(2)记S＝S_△OEF－S_△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？

(3)请探索：是否存在这样的点F，做一日和尚撞一天钟得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)证明：设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，△AOE和△FOB的面积为S₁、S₂

　　由题意得，

　　∴　

　　∴S₁＝S₂，即△AOE和△FOB的面积相等

　　(2)由题意知：E、F两点坐标分别为E(，3)、F(4，)

　　S_△ECF＝EC·CF＝(4－)(3－)

　　S_△EDF＝S_矩形AOBC－S_△AOE－S_△ECF＝12－k－k－S_△ECF

　　S＝S_△OEF－S_△ECF＝12－k－2　S_△ECF＝12－k－2×(4－)(3－)

　　S＝k²＋k

　　当k＝

　　(3)解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN⊥OB，垂足为N

　　由题意得：EN＝AO＝3，EM＝EC＝4－，MF＝CF＝3－

　　∵FMN＋FMB＝FMB＋MFB＝90，∴EMN＝MFB

　　又∵ENM＝MBF＝90

　　∴△ENM△MBF

　　∴　∴

　　∴MB＝

　　∵MB²＋BF²＝MF²　∴()²＋()²＝(3－)²

　　解得k＝

　　∴BF＝＝

　　存在符合条件的点F，它的坐标为(4，)