Question

如图，已知四边形ABCD为正方形，点E是边AD上任意一点，△ABE接逆时针方向旋转一定角度后得到△ADF，延长BE交DF于点G，且AF=4，AB=7．
（1）请指出旋转中心和旋转角度；
（2）求BE的长；
（3）试猜测BG与DF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）旋转中心A点，旋转角度是90°．

（2）∵△ABE接逆时针方向旋转一定角度后得到△ADF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AF=AE=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE=90°，
由勾股定理得：BE===，
答：BE的长是．

（3）BG与DF的位置关系是垂直，
理由是：∵△ABE≌△ADF，
∴∠EBA=∠ADF，
∵∠EBA+∠AEB=180°-90°=90°，
∵∠AEB=∠DEG，
∴∠DEG+∠ADF=90°，
∴∠DGE=180°-（∠DEG+∠ADF）=90°，
∴BG⊥DF．
分析：（1）根据图形和已知的△ABE旋转得到△ADF即可得出答案；
（2）根据旋转的旋转求出AE，根据勾股定理求出BE即可；
（3）根据全等求出∠ADF=∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠DGE=90°即可．
点评：本题综合考查了正方形的旋转，勾股定理，旋转的性质，三角形的内角和定理，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生能根据旋转得出全等三角形，进一步推出角相等，同时考查学生观察图形的能力、猜想的能力．