【题目】已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD交于点E,点F在边AB上,连接CF交线段BE于点G,CG2=GEGD.
(1)求证:∠ACF=∠ABD;
(2)连接EF,求证:EFCG=EGCB.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)先根据CG2=GEGD得出,再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC,∠GDC=∠GCE.根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC,故可得出结论;
(2)先根据∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE,故.再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC,进而可得出结论.
试题解析:(1)∵CG2=GEGD,∴.
又∵∠CGD=∠EGC,∴△GCD∽△GEC,∴∠GDC=∠GCE.
∵AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC,∴∠ACF=∠ABD.
(2)∵∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE,∴△BGF∽△CGE,∴.
又∵∠FGE=∠BGC,∴△FGE∽△BGC,∴,∴FECG=EGCB.
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【题目】(1)问题发现
在△ABC中,AC=BC,∠ACB=α,点D为直线BC上一动点,过点D作DF∥AC交AB于点F,将AD绕点D顺时针旋转α得到ED,连接BE.
如图(1),当α=90°时,试猜想:
①AF与BE的数量关系是 ;②∠ABE= ;
(2)拓展探究
如图(2),当0°<α<90°时,请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数,并说明理由.
(3)解决问题
如图(3),在△ABC中,AC=BC,AB=8,∠ACB=α,点D在射线BC上,将AD绕点D顺时针旋转α得到ED,连接BE,当BD=3CD时,请直接写出BE的长度.
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【题目】下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程:
已知:如图,直线l和直线l外一点A
求作:直线AP,使得AP∥l
作法:如图
①在直线l上任取一点B(AB与l不垂直),以点A为圆心,AB为半径作圆,与直线l交于点C.
②连接AC,AB,延长BA到点D;
③作∠DAC的平分线AP.
所以直线AP就是所求作的直线
根据小星同学设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB (填推理的依据)
∵∠DAC是△ABC的外角,
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB (填推理的依据)
∴∠DAC=2∠ABC
∵AP平分∠DAC,
∴∠DAC=2∠DAP
∴∠DAP=∠ABC
∴AP∥l (填推理的依据)
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【题目】 问题:如图1,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,AC=,BC=2,求CD的长.
(1)发现:张强同学解决这个问题的思路是:将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处,点B,C分别落在点A,E处(如图2),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,从而得到了AC,BC,CD三条线段之间的关系为:AC+BC=CD,从而求出CD的长是______ ;
(2)应用:如图3,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且,若AB=5,BC=4,求CD的长;
(3)拓展:如图4,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P为AB的中点,若点E满足CE=CA,点Q为AE的中点,直接写出线段PQ的长是______.
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【题目】综合与探究:如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是平行四边形,A、C两点的坐标分别为(4,0),(-2,3),抛物线W经过O、A、C三点,D是抛物线W的顶点.
(1)求抛物线W的解析式及顶点D的坐标;
(2)将抛物线W和OABC一起先向右平移4个单位后,再向下平移m(0<m<3)个单位,得到抛物线W′和O′A′B′C′,在向下平移的过程中,设O′A′B′C′与OABC的重叠部分的面积为S,试探究:当m为何值时S有最大值,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取最大值时,设此时抛物线W′的顶点为F,若点M是x轴上的动点,点N是抛物线W′上的动点,试判断是否存在这样的点M和点N,使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】抛物线()的部分图象如图所示,与轴的一个交点坐标为,抛物线的对称轴是,下列结论是:①;②;③方程有两个不相等的实数根;④;⑤若点在该抛物线上,则,其中正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点,与轴交于.
(1)求函数表达式;
(2)点是线段中点,点是上方抛物线上一动点,连接,.当的面积最大时,过点作轴垂线,垂足为,点为线段上一动点,将绕点顺时针方向旋转90°,点,,的对应点分别是,,,点从点出发,先沿适当的路径运动到点处,再沿运动到点处,最后沿适当的路径运动到点处停止.求面积的最大值及点经过的最短路径的长;
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【题目】如图1,长、宽均为高为的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图2是此时的示意图,则图2中水面高度为___________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,顶点为的抛物线:()经过点和轴上的点,,.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)联结,求;
(3)将抛物线向上平移得到抛物线,抛物线与轴分别交于点(点在点的左侧),如果与相似,求所有符合条件的抛物线的表达式.
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