Question

如图13，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．

（1）试问：△ADE与△BCF全等吗？请说明理由

（2）若AD = 4cm，AB = 8cm，求CF的长．

                                                               

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， AD∥BC，

∴OA＝OB＝OC，∠DAE＝∠OCB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DAE＝∠CBF．                 

又∵AE＝OA，BF＝OB，∴AE＝BF，∴△ADE≌△BCF．        

（2）解：过点F作FG⊥CD于点G，则∠DGF＝90º，

∵∠DCB＝90º，∴∠DGF＝∠DCB，又∵∠FDG＝∠BDC

∴△DFG∽△DBC，    

∴．       

 由（1）可知DF＝3FB，得，∴，∴FG＝3，DG＝6，      

∴GC＝DC－DG＝8－6＝2． 

在Rt△FGC中，cm．          

 

（说明：还有其他解法，如延长CF交AB于点H，利用△DFC∽△BFH计算．）