Question

2．已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0）、B（4，0），抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）过点A，B，与y轴交于C点，点P（m，n）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）当∠PAB=∠ABC时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出解析式，再利用x=0得出y的值即可得出C点坐标．
（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，进而得出m的取值范围；
（3）利用第一种情况：过A作AP∥BC，交抛物线于点P，第二种情况：点P关于x轴的对称点的坐标为P″（5，-3），分别得出答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）过点A，B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{16a+4b-2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
当x=0时，y=-2，
∴C（0，-2）；

（2）方法一：∵$\frac{AO}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACO=∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB=90°，即∠ACB=90°，
∴P（0，-2），
由抛物线的对称性可知，P′（3，-2），
∴当-1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．
方法二：以AB为直径作圆M，与y轴交于点P．则抛物线在圆内的部分图1所示，能是∠APB为钝角，
∴M（$\frac{3}{2}$，0），⊙M的半径=$\frac{5}{2}$．
在Rt△OMP中，∴OP=$\sqrt{P{M}^{2}-O{M}^{2}}$=2．
∴P（0，-2），
由抛物线的对称性可知，P′（3，-2），
∴当-1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．

（3）在Rt△OBC中，tan∠ABC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$．
第一种情况：过A作AP∥BC，交抛物线于点P．
∴∠PAB=∠ABC．
过P作PQ⊥AB于Q，图2所示
∴tan∠PAB=tan∠ABC=$\frac{PQ}{AQ}$=$\frac{1}{2}$．
∵P（m，n），
∴PQ=n，AQ=m+1
∴n=$\frac{1}{2}$（m+1）．
∴$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2=$\frac{1}{2}$（m+1）．
解得：m₁=0，m₂=5，
∴P（5，3），
第二种情况：
点P关于x轴的对称点的坐标为P″（5，-3），
∴直线AP″的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\\{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴P′（3，-2）．
综上所述：P（5，3）或（3，-2）．

点评 本题考查了待定系数法求解析式、顶点坐标、二次函数的对称性、二元二次方程解法等知识，注意数形结合得出P点坐标是解题关键．