Question

14．情景：
校园空地上有一残墙，现有长为48米的塑胶铁丝网，再利用这面残墙围成一个矩形花圃．
问题：
（1）填空：当残墙为12米时，所围矩形花圃的最大面积是216m²
当残墙为20米时，所围矩形花圃的最大面积是280m²
当残墙为28米时，所围矩形花圃的最大面积是288m²
（2）当残墙为a米时，设所围矩形花圃的最大面积为 S平方米，请写出S 与a的函数关系，并写出a的取值范围．
（3）当残墙足够长时，设靠墙的一面的矩形长为x米，矩形花圃的面积为y平方米，请写出y与x的函数关系．
（4）若残墙a=14米时，设靠墙的一面的矩形长为x米，矩形花圃的面积为y平方米，当84≤y≤238时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）平行于墙的篱笆的长为x，那么垂直于墙的篱笆长为$\frac{1}{2}$（48-x），然后利用矩形的面积公式列出函数关系式，然后根据二次函数的性质解答即可；
（2）由（1）可知当a＞24时，最大面积为288，当a＜24时，最大面积=-$\frac{1}{2}（a-24）^{2}+288$；
（3）设靠墙的一面的矩形长为x米，则BC=48-2x，然后根据矩形的面积公式列出函数关系式即可；
（4）根据y的取值范围，列出不等式组，然后求得不等式组的解集即可．

解答 解：（1）设矩形花圃的面积为y，BC长为xm，则AB长为$\frac{1}{2}$（48-x）m．
依题意，得y=$\frac{1}{2}$x（48-x）=-$\frac{1}{2}$（x-24）²+288．
∴抛物线的对称轴方程为x=24．
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当x＜24时，y随x的增大而增大．
当残墙为12米时，所围矩形花圃的最大面积=$-\frac{1}{2}（12-24）^{2}+288$=216；
当残墙为20米时，所围矩形花圃的最大面积=-$\frac{1}{2}（20-24）^{2}$+288=280；
当残墙为28米时，x=24，所围矩形花圃的最大面积=288；
∴当x=12m时，S_最大=144m²，
故答案为：216；280；288；
（2）由（1）可知，当a≥24时，S=288m²；
当0＜a＜24时，S=$-\frac{1}{2}（a-24）^{2}+288$；
（3）设AB=x，则BC=48-2x．
由矩形的面积公式得：y=（48-2x）x=-2（x-12）²+288；
（4）∵a=14，
∴48-2x≤14．
∴x≥17．
∵84≤y≤238，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2（x-12）^{2}+288≥84①}\\{-2（x-12）^{2}≤238②}\end{array}\right.$
解得：19≤x≤22．
∴x的取值范围是：19≤x≤22．

点评 本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．