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    （2013•武汉）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
    （1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：
    DE
    CF
    =
    AD
    CD
    ；
    （2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得
    DE
    CF
    =
    AD
    CD
    成立？并证明你的结论；
    （3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF．请直接写出
    DE
    CF
    的值．
    分析：（1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；
    （2）当∠B+∠EGC=180°时，
    DE
    CF
    =
    AD
    CD
    成立，证△DFG∽△DEA，得出
    DE
    AD
    =
    DF
    DG
    ，证△CGD∽△CDF，得出
    DF
    DG
    =
    CF
    CD
    ，即可得出答案；
    （3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM=
    3
    4
    x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，代入得出方程（x-6）2+（
    3
    4
    x）2=62，求出CN=
    192
    25
    ，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．
    解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠A=∠FDC=90°，
    ∵CF⊥DE，
    ∴∠DGF=90°，
    ∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
    ∴∠CFD=∠AED，
    ∵∠A=∠CDF，
    ∴△AED∽△DFC，
    ∴
    DE
    CF
    =
    AD
    CD
    ；

    （2）当∠B+∠EGC=180°时，
    DE
    CF
    =
    AD
    CD
    成立．
    证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
    ∴∠B+∠A=180°，
    ∵∠B+∠EGC=180°，
    ∴∠A=∠EGC=∠FGD，
    ∵∠FDG=∠EDA，
    ∴△DFG∽△DEA，
    ∴
    DE
    AD
    =
    DF
    DG
    ，
    ∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
    ∴∠CGD=∠CDF，
    ∵∠GCD=∠DCF，
    ∴△CGD∽△CDF，
    ∴
    DF
    DG
    =
    CF
    CD
    ，
    ∴
    DE
    AD
    =
    CF
    CD
    ，
    ∴
    DE
    CF
    =
    AD
    CD
    ，
    即当∠B+∠EGC=180°时，
    DE
    CF
    =
    AD
    CD
    成立．

    （3）解：
    DE
    CF
    =
    25
    24
    ．
    理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，
    ∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
    ∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
    ∴四边形AMCN是矩形，
    ∴AM=CN，AN=CM，
    ∵在△BAD和△BCD中
    AD=CD
    AB=BC
    BD=BD

    ∴△BAD≌△BCD（SSS），
    ∴∠BCD=∠A=90°，
    ∴∠ABC+∠ADC=180°，
    ∵∠ABC+∠CBM=180°，
    ∴∠MBC=∠ADC，
    ∵∠CND=∠M=90°，
    ∴△BCM∽△DCN，
    ∴
    CM
    CN
    =
    BC
    CD
    ，
    ∴
    CM
    x
    =
    6
    8
    ，
    ∴CM=
    3
    4
    x，
    在Rt△CMB中，CM=
    3
    4
    x，BM=AM-AB=x-6，由勾股定理得：BM2+CM2=BC2，
    ∴（x-6）2+（
    3
    4
    x）2=62，
    x=0（舍去），x=
    192
    25
    ，
    CN=
    192
    25
    ，
    ∵∠A=∠FGD=90°，
    ∴∠AED+∠AFG=180°，
    ∵∠AFG+∠NFC=180°，
    ∴∠AED=∠CFN，
    ∵∠A=∠CNF=90°，
    ∴△AED∽△NFC，
    ∴
    DE
    CF
    =
    AD
    CN
    =
    8
    192
    25
    =
    25
    24
    ．
    点评：本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．
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    b
    a
    ，x1•x2=
    c
    a
    ．这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”．利用此定理，可以不解方程就得出x1+x2和 x1•x2的值，进而求出相关的代数式的值．
    请你证明这个定理．
    （2）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2-（n+2）x-2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2），
    请求出
    1
    (a2-2)(b2-2)
    +
    1
    (a3-2)(b3-2)
    +…+
    1
    (a2011-2)(b2011-2)
    的值．

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    		5
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    10人
    10人
    ．

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    （l）求∠DEB的度数；
    （2）若直线DE交⊙0于点F，判断点F在半圆AB上的位置，并证明你的结论．

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