Question

7．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE=OD，则AP的长为4.8．

Answer 1

分析 由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP和△OEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}&{\;}\\{OD=OE}&{\;}\\{∠DOP=∠EOG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，
∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，
根据勾股定理得：BC²+CG²=BG²，
即6²+（8-x）²=（x+2）²，
解得：x=4.8，
∴AP=4.8；
故答案为：4.8．

点评 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．