Question

已知抛物线y=2x²+bx-2经过点A（1，0）．
（1）求b的值；
（2）设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内的点，若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，这样的Q点有几个，并求出PQ的长．

Answer 1

解：（1）由题意得2×1²+b×1-2=0，
∴b=0．

（2）由（1）知y=2x²-2．
∴P（0，-2）．
∵B（a，0）（a≠1）在抛物线上，
∴2a²-2=0．
∴a=-1．
∴B（-1，0）．
符合题意的Q点在坐标平面内的位置有下述三种．
如图①当Q在y轴上时，
∵四边形QBPA为平行四边形，
可得QO=OP=2，
∴PQ=4．
②当点Q在第四象限时，
∵四边BPQA是平行四边形，
∴PQ=AB=2．
③当点Q在第三象限时，同理可得PQ=2．
分析：（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，即求得b的值．
（2）由顶点坐标公式求得顶点的坐标后，可求得点B的坐标，则以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，这样的Q点有三个．可由平行四边形的性质求得PQ的长．
点评：本题考查用待定系数法确定抛物线的解析式，及顶点坐标公式，平行四边形的性质．