Question

12．已知直角三角形的周长为3+$\sqrt{3}$，斜边上的中线长为1，则该直角三角形的面积是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由中线长可得斜边长，根据周长已知，可列出另外两边的方程，再根据勾股定理列出另一个方程，联立解得两直角边长，再利用面积公式进行计算．

解答 解：设两直角边长分别为x，y；
∵直角三角形斜边上的中线长为1，
∴斜边长为2．周长为3+$\sqrt{3}$=x+y+2，
得x+y=1+$\sqrt{3}$．①
由勾股定理得$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2．②
①②联立解得xy=$\sqrt{3}$，故这个三角形的面积为$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了勾股定理的应用，要明确直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和直角三角形的面积公式．