(1)如图①.△ABC中.AB=AC.∠ABC.∠ACB的平分线交于O点.过O点作EF∥BC交AB.AC于E.F．图中有5个等腰三角形．猜想:EF与BE.CF之间有怎样的关系.并说明理由．(2)如图②.若AB≠AC.其他条件不变.图中有2个等腰三角形．它们是△BEO.△CFO．EF与BE.CF间的关系是EF=BE+CF．(3)如图③.若△ABC中∠ABC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．（1）如图①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．图中有5个等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中有2个等腰三角形．
它们是△BEO，△CFO．EF与BE、CF间的关系是EF=BE+CF．
（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中有2个等腰三角形．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．

分析（1）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质得到∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，得到∠AEF=∠AFE，得出AE=AF，根据平行线的性质得到∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，由角平分线的定义得到∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，得到∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，得到∠OBC=∠OCB，得出OE=BE，OF=CF，OB=OC，即可得到结论．
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE=OE，CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；
（3）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE=OE，CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．

解答解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BE=OE，OF=CF，
∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰三角形；
故答案为：5；
猜想：EF=BE+CF；理由如下：
∵BE=OE，OF=CF，
∴EF=OE+OF=BE+CF；
（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形；
即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；
EF与BE、CF之间的关系是EF=BE+CF，
理由是：∵BE=OE，CF=OF
∴EF=BE+CF；
故答案为：2；△BEO，△CFO；EF=BE+CF．
（3）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCG，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形
即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；
故答案为：2；
EF与BE、CF之间的关系是EF=BE-CF，
理由是：∵BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE-OF=BE-CF．

点评此题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解本题的关键．

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②若点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为（4，-2）或P（-4，6）；
（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．
①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P 在y轴上截得的弦长；
②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是0＜r＜$\sqrt{2}$或r＞2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$．

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