Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB为⊙O₁、⊙O₂的外公切线，切点分别为A、B，连心线O₁O₂分别交⊙O₁于D、交AB于C，连接AD、AP、BP．求证：（1）AD∥BP；（2）CP•CO₁=CD•CO₂；（3）

AD

AP

=

PC

BC

．

Answer 1

分析：（1）根据圆的切线的性质即可证得∠APB=∠DAP，即可证得两直线平行；
（2）利用平行线分线段成比例定理即可证明；
（3）首先证明△DAP∽△APB，和△CPA∽△CBP，即可求证．

解答：证明：（1）过P作两圆的内公切线PE交AB于E，
∵EA、EP为⊙O₁的切线，
∴EA=EP，
同理：EB=EP，
∴∠APB=90°，
∵PD是⊙O₁的直径，
∴∠DAP=90°，
∴∠APB=∠DAP，
∴AD∥BP；

（2）由（1）知：AD∥BP?

CP

CD

=

CB

CA

，
连接O₁A、O₂B，AB分别切两圆于A、B，
∴

O1A⊥AB O2B⊥AB

?O1A∥O2B?

CO2

CO1

=

CB

CA

，
∴

CP

CD

=

CO2

CO1

，
∴CP•CO₁=CD•CO₂；

（3）由（1）知：∠DAP=∠APB，
又AB是⊙O₁的切线，AP是⊙O₁的弦，
∴∠D=∠PAB，
∴△DAP∽△APB，
∴

AD

AP

=

AP

BP

，
又∵

AD||BP?∠BPC=∠D ∠PAC=∠PAB=∠D

?

∠BPC=∠PAC ∠C=∠C

=△CPA∽△CBP?

AP

BP

=

PC

BC

，
∴

AD

AP

=

PC

BC

．

点评：本题主要考查了切线的性质，以及三角形相似的判定，线段的比相等的问题一般可以转化为证明三角形相似的问题解决．