Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanB=，点M是AB边的中点，将△ABC绕着点M旋转，使点C与点A重合，点A与点D重合，点B与点E重合，得到△DEA，且AE交CB于点P，那么线段CP的长是________．

Answer 1

分析：连接PM，根据∠B的正切值设AC=3k，BC=4k，利用勾股定理列式求出k值，得到AC、BC的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=DM=EM，再根据等边对等角的性质可得∠EAM=∠E，然后求出∠EAM=∠B，根据等腰三角形三线合一的性质可得PM⊥AB，然后求出△ABC和△PMB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出PB的长，再根据CP=BC-PB代入数据进行计算即可得解．
解答：解：连接PM，∵tanB=，
∴设AC=3k，BC=4k，
则（3k）²+（4k）²=10²，
解得k=2，
∴AC=3×2=6，BC=4×2=8，
∵点M是AB边的中点，△DEA是△ABC绕点M旋转得到，
∴AM=MB=DM=EM=5，
∴∠EAM=∠E，
又∵∠B=∠E，
∴∠EAM=∠B，
∴△APB是等腰三角形，
∵点M是AB的中点，
∴PM⊥AB，
∴△ABC∽△PMB，
∴=，
即=，
解得PB=，
∴CP=BC-PB=8-=．
故答案为：．
点评：本题考查了旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．