Question

（2009•盐都区二模）（1）如图1，在△ABC中，绕点C旋转180°后，得到△CA′B′．请先画出变换后的图形，写出下列结论正确的序号是______．
①△ABC≌△A′B′C；
②线段AB绕C点旋转180°后，得到线段A′B′；
③A′B′∥AB；
④C是线段BB′的中点．
在（1）的启发下解答下面问题：
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，D是BC的中点，射线DF交BA于E，交CA的延长线于F，请猜想∠F等于多少度时，BE=CF？（直接写出结果，不证明）
（3）如图3，在△ABC中，如果∠BAC≠120°，而（2）中的其他条件不变，若BE=CF的结论仍然成立，那么∠BAC与∠F满足什么数量关系（等式表示）并加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过旋转的性质可知①②③④正确；
（2）通过正确作图，使BE=CF，然后进行测量即可进行猜想；
（3）通过旋转的方法，作出辅助线，可利用三角形全等或旋转的性质得到相等的线段，把关系转化到一个三角形中即可得到需要的条件．
解答：解：
（1）根据旋转的性质，知①②③④都是正确的．

（2）60°．

（3）等量关系：∠BAC=2∠F．
作△FCD关于点D的中心对称三角形DBF′，则
∠F′=∠F，FC=BF′=BE，∠F′=∠F=∠BED=∠FEA．
∴∠BAC=2∠F．
点评：本题考查旋转的性质和中心对称的特点．
旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意中心对称是旋转的一种特殊情况．