Question

问题：你能比较2011²⁰¹²和2012²⁰¹¹的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的-般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n是正整数），然后，我们从分析n=1，n=2，n=3，…，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（填“＜”“＞”或“=”）：
①1²______2¹；②2³______3²；③3⁴______4³；
④4⁵______5⁴；⑤5⁶______6⁵；…
（2）将题（1）的结果进行归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是______；
（3）根据上面归纳猜想后得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：2011²⁰¹²______2012²⁰¹¹．

Answer 1

解：（1）①1²=1，2¹=2；
②2³=8，3²=9；
③3⁴=81，4³=64；
④4⁵=1024，5⁴=625；⑤5⁶=15625，6⁵=7776；…

（2）当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2011＞3，
∴2011²⁰¹²＞2012²⁰¹¹．
故答案为：（1）＜；＜；＞；＞；＞；（2）当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；（3）＞．
分析：（1）根据有理数的乘方的定义分别进行计算即可得解；
（2）根据（1）的计算结果分情况解答；
（3）根据（2）的结论解答即可．
点评：本题考查了有理数的乘方，有理数的大小比较，理解有理数的乘方的意义准确计算是解题的关键．