Question

当a、b、c为何值时，代数式

a-3

+b2+c2-10b-8c+6有最小值？并求出这个最小值和此时以a、b、c值为边的三角形的面积．

Answer 1

分析：首先把

a-3

+b2+c2-10b-8c+6进行配方得：

a-3

+b²-10b+25-25+c²-8c+16-16+6，进一步整理得：

a-3

+（b-5）²+（c-4）²-35，分析可知，

a-3

≥0，（b-5）²≥0，（c-4）²≥0，即可推出最小值为-35，a=3，b=5，c=4，此时三角形为直角三角形直角边长度为4和3，所以面积为6．

解答：解：∵

a-3

+b2+c2-10b-8c+6
=

a-3

+b²-10b+25-25+c²-8c+16-16+6
=

a-3

+（b-5）²+（c-4）²-35，
∵

a-3

≥0，（b-5）²≥0，（c-4）²≥0，
∴代数式

a-3

+b2+c2-10b-8c+6有最小值时，a=3，b=5，c=4，
∴这个最小值为-35，
∴以a、b、c值为边的三角形为直角三角形，直角边为a和c，
∴以a、b、c值为边的三角形的面积为6．

点评：本题主要考查完全平方公式，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键在于利用完全平方公式对原代数式进行配方．分析a、b、c的值．