Question

如图，C、D、B的坐标分别为（1，0）（9，0）（10，0），点P（t，0）是CD上一个动点，在x轴上方作等边△OPE和△BPF，连EF，G为EF的中点．
（1）当t=______时，EF∥OB；
（2）双曲线y=过点G，当PG=时，则k=______．

Answer 1

解：（1）作EM⊥OB于M点，FN⊥OB于N点，如图，
∵△OPE和△BPF都是等边三角形，
∴EM=OP，FN=PB，
当EM=FN时，EF∥OB，
∵P（t，0），B（10，0），
∴PC=t，PB=10-t
∴t=（10-t），
∴t=5；

（2）作GH⊥OB于H点，如图，
∵G为EF的中点，
∴GH为梯形EMNF的中位线，
∴GH=（EM+FN）=[t+（10-t）]=，HM=MN=（ON-OM）=[t+（10-t）-t]=，
∴PH=-t或t-，
在Rt△PGH中，PG²=GH²+PH²，
∴（）²+（）²=（）²，
∴t₁=3，t₂=7，
当t=3时，OH=+t=4，
∴G点坐标为（4，），
把G（4，）代入y=得k=4×=10；
当t=7时，OH=+=6，
∴G点坐标为（6，），
把G（6，）代入y=得k=6×=15；
∴k的值为10或15．
故答案为5；10或15．
分析：（1）作EM⊥OB于M点，FN⊥OB于N点，根据等边三角形的性质得EM=OP，FN=PB，所以EM=FN时，EF∥OB，则t=（10-t），然后即方程即可得到t的值；
（2）作GH⊥OB于H点，则GH为梯形EMNF的中位线，根据梯形中位线的性质得GH=（EM+FN）=，HM=MN=（ON-OM）=，得到PH=-t或t-，
再利用勾股定理得PG²=GH²+PH²，即（）²+（）²=（）²，解得t₁=3，t₂=7，然后分别确定G点坐标，再代入反比例函数解析式可得到k的值．，
点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的坐标满足其函数解析式，运用待定系数法求函数的解析式；掌握等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系和勾股定理．