Question

如图（1）和（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由；
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）解：AB=CD，
理由是：过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB、OD，
∵∠APM=∠CPM，∠APM=∠BPN，∠CPM=∠DPN，
∴∠BPN=∠DPN，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF，
在Rt△BEO和Rt△DOF中，OF=OE，OD=OB，由勾股定理得：BE=DF，
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
OF、OE过O，
∴由垂径定理得：CD=2DF，AB=2BE，
∴AB=CD．

（2）AB=CD成立，
证明：过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB、OD，
∵∠APM=∠CPM，
∴OE=OF，
在Rt△BEO和Rt△DOF中，OF=OE，OD=OB，由勾股定理得：BE=DF，
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
OF、OE过O，
∴由垂径定理得：CD=2DF，AB=2BE，
∴AB=CD．
分析：（1）根据角平分线性质求出OE=OF，根据勾股定理求出BE=DF，根据垂径定理求出AB=2BE，CD=2DF，即可得出答案；
（2）根据角平分线性质求出OE=OF，根据勾股定理求出BE=DF，根据垂径定理求出AB=2BE，CD=2DF，即可得出答案．
点评：本题考查了勾股定理，角平分线性质，垂径定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．