Question

12．解方程：x-$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 方程两边平方化成x$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{4}$的形式，然后进行平方即可化成整式方程，解整式方程，然后进行检验即可．

解答 解：两边平方得：x²-2x$\sqrt{1-{x}^{2}}$+1-x²=$\frac{1}{2}$，
则2x$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
即x$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
两边平方得：x²（1-x²）=$\frac{1}{16}$．
设x²=y，则y（1-y）=$\frac{1}{16}$，
即y²-y+$\frac{1}{16}$=0，
解得：y=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$或$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
则x²=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$或x²=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
则x=±$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，或x=±$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$．
经检验x=$\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$和$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$是方程的解．

点评 本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法和换元法．