Question

7．如图，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=BC，BD是AC边上的中线，求cot∠DBC．

Answer 1

分析 设AB=AC=2x，根据勾股定理求出BC，求出AD=DC=x，∠C=∠ABC=∠EDC=45°，推出DE=CE，解直角三角形求出DE、EC，即可求出答案．

解答 解：如图：
设AB=AC=2x，由勾股定理得：BC=$\sqrt{（2x）^{2}+（2x）^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
则AD=DC=x，
过D作DE⊥BC于E，则∠DEC=90°，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=BC，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠EDC=∠C=45°，
∴DE=CE，
∴DE=EC=DC×sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴BE=BC-EC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，
在Rt△BED中，cot∠DBC=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}x}{\frac{\sqrt{2}}{2}x}$=3．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，构造直角三角形，是一道比较好的题目，难度适中．