Question

以AB=10为直径的⊙O中，定点C和动点P位于AB的两侧，且BC：AC=4：3，动点P在 

AB

（不含A、B）上运动，CP⊥CQ与PB的延长线交于点Q．下面说法错误的是（　　）

• A、当P点运动到

  AB

  的中点时，CP=7

  2

  ，CQ=

  28 2

  3

• B、当PC为⊙O的直径时，CQ最长
• C、动点P在运动过程中，∠Q是定值
• D、动点P在运动过程中，△ABC有可能与△PCQ全等

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：A、根据等于直角三角形的性质求得PB=5

2

，然后根据

AD

PD

=

CD

BD

=

AC

PB

求得DC=

24 2

7

，PD=

25 2

7

，即可求得CP，最后根据△PCQ∽△ACB对应边成比例求得CQ的值来判断；
B、根据PC：CQ=AC：BC=6：8即可判断；
C、根据三角形相似即可判定；
D、因为∠PBC＞∠ABC，所以PC＞AC，所以△ABC与△PCQ不会全等来判断；

解答：解：A、∵P点运动到

AB

的中点，
∴∠ACP=∠BCP，PB=5

2

，
∴AD：BD=6：8，
∴AD=

30

7

，BD=

40

7

，
∵

AD

PD

=

CD

BD

=

AC

PB

，
∴DC=

24 2

7

，PD=

25 2

7

，
∴CP=7

2

，
∵△PCQ∽△ACB，
∴CQ：CP=CB：AC，
∴CQ=

28 2

3

；
故A正确；
B、∵PC：CQ=AC：BC=6：8，
∴当PC为最大值，CQ最大，
∴当PC为⊙O的直径时，CQ最长，故B正确；
C、∵∠P=∠A，∠PCQ=∠ACB=90°，
∴∠Q=∠ABC，
∴动点P在运动过程中，∠Q是定值，故C正确；
D、∵∠PBC＞∠ABC，
∴PC＞AC，所以不能确定△ABC与△PCQ全等，故D错误；
故选D．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、同弧所对的圆周角相等、直径是圆的最大的弦、三角形的内角和定理等，是基础题型．