Question

如图，矩形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE，DE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）求证：CD²+3DE²是定值．

Answer 1

证明：（1）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形BEDF是平行四边形．

（2）设AD=b，CD=a，AC=c，
过E作EM⊥AD于M，
∵EM⊥AD，∠ADC=90°，
∴EM∥CD，
∴==，
∴EM=CD=a，DM=AD=b，
由勾股定理得：DE²=EM²+DM²=a²+b²，CD²=AC²-AD²=c²-b²，
∴CD²+3DE²=c²-b²+a²+b²=c²+（a²+b²）=c²+c²=AC²，
∴CD²+3DE²是定值．
分析：（1）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质和已知推出OE=OF，OB=OD，即可求出答案；
（2）设AD=b，CD=a，AC=c，过E作EM⊥AD于M，根据平行线分线段成比例定理求出EM=CD=a，DM=AD=b，根据勾股定理求出即可．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，矩形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．